二次関数の最大・最小（平方完成）
基礎・約25分・練習問題6問
今日学ぶこと
- y = ax2 + bx + c を平方完成して頂点を求められる
- 定義域（x の範囲）があるときの最大・最小を求められる
解説
平方完成で「頂点」が見える
y = x2 − 6x + 5 は、x の係数 −6 の半分 −3 を使って
y = (x − 3)2 − 9 + 5 = (x − 3)2 − 4
と変形できます（−9 は (x − 3)2 を展開したときに増える 9 を引いて調整した分）。
(x − 3)2 は 0 以上なので、x = 3 のとき最小値 −4。グラフの頂点は (3, −4) です。
x<sup>2</sup> の係数が 1 でないとき
y = 2x2 − 8x + 3 なら、まず x の項を 2 でくくります。
y = 2(x2 − 4x) + 3 = 2{(x − 2)2 − 4} + 3 = 2(x − 2)2 − 5
頂点は (2, −5)。くくった 2 を −4 にもかけ忘れないのがポイントです。
グラフの向きと最大・最小
x がすべての実数をとるとき（範囲の制限がないとき）：
a > 0（下に凸）：頂点で最小、最大値はない。
a < 0（上に凸）：頂点で最大、最小値はない。
x の範囲が決められているときは、最大値・最小値の両方がありうるので、次の方法で調べます。
x の範囲（定義域）があるとき
グラフをかき、①頂点が範囲の中にあるか、②範囲の両端の値はいくつか、を比べます。
下に凸なら、頂点が範囲内のとき最小値は頂点、最大値は「頂点（軸）から遠いほうの端」です。頂点が範囲の外にあるときは、最小値も端（頂点に近いほうの端）でとります。
例題
y = x2 − 4x + 7 の最小値を求めよ。
解き方を見る
- x の係数 −4 の半分は −2
- y = (x − 2)2 − 4 + 7 = (x − 2)2 + 3
- x2 の係数が正（下に凸）なので、頂点で最小
答え：x = 2 のとき最小値 3
練習問題（6問）
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よくある間違い
- 平方完成で引く数（(x の係数の半分)2）を忘れる
- x2 の係数でくくったあと、引く数にその係数をかけ忘れる
- 範囲があるのに、端の値を確かめずに頂点だけで答える
復習ポイント
- 平方完成 → 頂点 → グラフの向き → 範囲の端、の順に確認
- 最大は「頂点から遠い端」、最小は「頂点（範囲内なら）」（下に凸のとき）